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全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)
大小:0B 13页 发布时间: 2024-01-31 08:47:50 16.69k 15.39k

【解答】(1)解:连接PB,BC,

设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,

∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,

由⊙O中的中点为P,可得∠4=∠5,

在△EBC中,∠1=∠2+∠3,

又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5,

即有∠2=∠4,则∠D=∠1,

则四点E,C,D,F共圆,

可得∠EFD+∠PCD=180°,

由∠PFB=∠EFD=2∠PCD,

即有3∠PCD=180°,

可得∠PCD=60°;

(2)证明:由C,D,E,F共圆,

由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G

可得G为圆心,即有GC=GD,

则G在CD的中垂线,又CD为圆G的弦,

则OG⊥CD.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断,以及圆的垂径定理的运用,考查推理能力,属于中档题.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有

【专题】34:方程思想;48:分析法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程;5S:坐标系和参数方程.

【分析】(1)运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程;

(2)由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标.

另外:设P(cosα,sinα),由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小值和P的坐标.

【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),

移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1,

即有椭圆C1:+y2=1;

曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2

即有ρ(sinθ+cosθ)=2

由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,

即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0;

(2)由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,

|PQ|取得最值.

设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,

联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,

由直线与椭圆相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,

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