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全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)
大小:0B 13页 发布时间: 2024-01-31 08:47:50 16.69k 15.39k

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

(2)若S5=,求λ.

18.(12分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

注:年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014.

(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明;

(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注:

参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646.

参考公式:相关系数r=

回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

==

19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明:MN∥平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

20.(12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;

(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

21.(12分)设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.

(Ⅰ)求f′(x);

(Ⅱ)求A;

(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.

请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]

22.(10分)如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.

(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;

(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

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