（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．

【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB，

又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，

由已知得AB=2，BE=，

由射影定理可得AE2=CE•BE，

∴x2=，即x4+x2﹣12=0，

解方程可得x=

∴∠ACB=60°

【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．

五、【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有

【专题】5S：坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．

（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．

【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的

极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，

故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：

（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，

化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．

（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入

圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，

可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，

求得ρ1=2，ρ2=，

∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，

△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．