解得a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．

15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为4．

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，

由图可知，当直线y=﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，

此时z有最大值为3×1+1=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12．

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．

【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2

≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），

直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，

∴P的纵坐标为2，

∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．

故答案为：12．

【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】58：解三角形．

【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．

（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，

由正弦定理可得：＞0，

代入可得（bk）2=2ak•ck，

∴b2=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：cosB===．

（II）由（I）可得：b2=2ac，