【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．

22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；

（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，

①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，

若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，

若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，

③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，

若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，

若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，

当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，

即ln（x+1）＞，（x＞0），

又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，

当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，

下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立，

①当n=1时，由已知

，故结论成立．

②假设当n=k时结论成立，即，

则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（），

ak+1=ln（ak+1）＜ln（），

即当n=k+1时，成立，

综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．

【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．