（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备

（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可．

【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为

0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4

P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06

P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25

P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，

P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，

P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．

故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2

【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．

21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．

（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），

可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．

又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，

∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．

故C的方程为 y2=4x．

（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），

设l的方程为 x=my+1（m≠0），

代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．

∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．

又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．

过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，

把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．

故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，

∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，

∴+DE2=MN2，

∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，

∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．