解得a=7，b=．

【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．

【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；

对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；

对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，

即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，

∴函数f（x）在R上为增函数．

（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，

则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]

=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]

=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．

①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，

∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，

从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，

∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．

②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，

又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．

综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．

（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，

为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，

得．

当b=2时，由g（x）＞0，得，

从而；

令，得＞2，当时，

由g（x）＜0，得，得．

所以ln2的近似值为0.693．

【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．

2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．

3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ）BE=EC；