【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．

【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，

∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），

即f（|x﹣1|）＞f（2），

∴|x﹣1|＜2，

解得﹣1＜x＜3，

故答案为：（﹣1，3）

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．

16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．

【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），

要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，

则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，

而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，

此时MN=1，

图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，

∴x0的取值范围是[﹣1，1]．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；

再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；

（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．

【解答】证明（Ⅰ）==3，

∵≠0，

∴数列{an+}是以首项为，公比为3的等比数列；

∴an+==，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，

∴当n=1时，成立，

当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．

∴对n∈N+时，++…+＜．