19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．

（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；

（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；

（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．

【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC

∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，

由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，

又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，

∴AC1⊥A1B；

（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，

∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，

作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，

又直线AA1∥平面BCC1B1，

∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，

∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，

作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，

又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，

∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF

∴A1F⊥AB，

∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，

由AD==1可知D为AC中点，

∴DF==，

∴tan∠A1FD==，

∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan

【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．

20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．

（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为