0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．

若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．

故k的最小值为3．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，

∴f′（x）=3ax2+6x+3，

令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），

①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；

②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，

当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；

当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；

（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，

当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，

当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，

a的取值范围[）∪（0，+∞）．

【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．

22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．

（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），

可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．

又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，

∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．

故C的方程为 y2=4x．

（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），

设l的方程为 x=my+1（m≠0），

代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．

∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．