【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．

【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．

【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，

∵α截球O所得截面的面积为π，

∴d=R时，r=1，

故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=

∴球的表面积S=4πR2=．

故答案为：．

【点评】若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d2

16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．

【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．

【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），

∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，

∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，

又sin2θ+cos2θ=1，

联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．

故答案为：﹣

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和．

【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）设出等差数列{an}的首项和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；

（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{}的前n项和．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的首项为a1，公差为d，则．

由已知可得，即，解得a1=1，d=﹣1，

故{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

从而数列{}的前n项和

Sn=

=．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．

18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5