【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．

20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；

（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，

∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，

∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4

∴f（0）=4，f′（0）=4

∴b=4，a+b=8

∴a=4，b=4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣），

令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2

∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0

∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）

当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．

21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；

（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．

【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．

设动圆的半径为R，

∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，

而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，

∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．

∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．

（II）设曲线C上任意一点P（x，y），

由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．

①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．

②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，

设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），

由l于M相切可得：，解得．

当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．