20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】（1）求出f（p）=，则

=，利用导数性质能求出f （p）的最大值点p0=0.1．

（2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．

【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），

则f（p）=，

∴=，

令f′（p）=0，得p=0.1，

当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，

当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，

∴f （p）的最大值点p0=0.1．

（2）（i）由（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，

∵E（X）=490＞400，

∴应该对余下的产品进行检验．

【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，

设g（x）=x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a2﹣4，

①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：