【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．

【分析】（1）由正弦定理得=，求出sin∠ADB=，由此能求出cos∠ADB；

（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=，再由DC=2，利用余弦定理能求出BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得：=，即=，

∴sin∠ADB==，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

==5．

【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．

（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．

【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，

则，，

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．

由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．

又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．

（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，

由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，

则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，

因为DE∥BF且PF⊥BF，

所以PF⊥DE，

又因为△PDF≌△CDF，

所以∠FPD=∠FCD=90°，

所以PF⊥PD，

由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，

故VF﹣PDE=，

因为BF∥DA且BF⊥面PEF，