【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆．

【分析】（1）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；

（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．

【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，

可设A（x1，0），B（x2，0），

由韦达定理可得x1x2=﹣2，

若AC⊥BC，则kAC•kBC=﹣1，

即有•=﹣1，

即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，

故不出现AC⊥BC的情况；

（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，

可得D=m，F=﹣2，

圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，

由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，

则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，

另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），

则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，

即有2=|OH|，

再令x=0，可得y2+y﹣2=0，

解得y=1或﹣2．

即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），

则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．

【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）题干求导可知f′（x）=（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论；

（2）通过（1）可知f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．

【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，

求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0），

①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；

③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣．

因为当x∈（0，﹣）f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）f′（x）＜0，

所以y=f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．

综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；