11.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()
A. B. C. D.
【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有
【专题】34:方程思想;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,可得原点到直线的距离=a,化简即可得出.
【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,
∴原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2.
∴椭圆C的离心率e===.
故选:A.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()
A.﹣ B. C. D.1
【考点】52:函数零点的判定定理.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用.
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.
【解答】解:因为f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+)=0,
所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+)有唯一解,
等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象只有一个交点.
①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;
②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
且y=a(ex﹣1+)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+)的图象的最高点为B(1,2a),
由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象有两个交点,矛盾;
③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
且y=a(ex﹣1+)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,
所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+)的图象的最低点为B(1,2a),
由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件;
综上所述,a=,
故选:C.
【点评】本题考查函数零点的判定定理,考查函数的单调性,考查运算求解能力,考查数形结合能力,考查转化与化归思想,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题.
二、填空题
13.(5分)已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m=2.
【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解.
【解答】解:∵向量=(﹣2,3),=(3,m),且,
∴=﹣6+3m=0,
解得m=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用.