【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．

（2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，

∵△ABC是正三角形，AD=CD，

∴DO⊥AC，BO⊥AC，

∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，

∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．

解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，

∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，

设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA，

∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，

∴EC=EA==CD，

∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，

由余弦定理得：

cos∠CBD==，

即，解得BE=1或BE=2，

∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，

∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，

∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，

∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，

∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，

以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，

则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），

设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），

∴=（1，），=（﹣1，），

∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，

由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，

∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，

∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，

∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有