∴椭圆C的方程为=1．

证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），

∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，

∴===﹣1，

解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

，x1x2=，

则==

===﹣1，又t≠1，

∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，

∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，

当x=2时，y=﹣1，

∴l过定点（2，﹣1）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．

（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，

当a=0时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，

∴当x∈R，f（x）单调递减，

当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），

令f′（x）=0，解得：x=ln，

当f′（x）＞0，解得：x＞ln，

当f′（x）＜0，解得：x＜ln，

∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；

当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，

∴当x∈R，f（x）单调递减，

综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；

（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，

当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，

当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0，

∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，