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全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
大小:0B 14页 发布时间: 2024-01-31 12:37:21 5.04k 4.95k

当x→∞,e2x→+∞,且远远大于ex和x,

∴当x→∞,f(x)→+∞,

∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,

由f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数,

∴f(x)min=f(ln)=a×()+(a﹣2)×﹣ln<0,

∴1﹣﹣ln<0,即ln+﹣1>0,

设t=,则g(t)=lnt+t﹣1,(t>0),

求导g′(t)=+1,由g(1)=0,

∴t=>1,解得:0<a<1,

∴a的取值范围(0,1).

方法二:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)ex﹣1,

当a=0时,f′(x)=﹣2ex﹣1<0,

∴当x∈R,f(x)单调递减,

当a>0时,f′(x)=(2ex+1)(aex﹣1)=2a(ex+)(ex﹣),

令f′(x)=0,解得:x=﹣lna,

当f′(x)>0,解得:x>﹣lna,

当f′(x)<0,解得:x<﹣lna,

∴x∈(﹣∞,﹣lna)时,f(x)单调递减,x∈(﹣lna,+∞)单调递增;

当a<0时,f′(x)=2a(ex+)(ex﹣)<0,恒成立,

∴当x∈R,f(x)单调递减,

综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,

当a>0时,f(x)在(﹣∞,﹣lna)是减函数,在(﹣lna,+∞)是增函数;

(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,

②当a>0时,由(1)可知:当x=﹣lna时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(﹣lna)=1﹣﹣ln

当a=1,时,f(﹣lna)=0,故f(x)只有一个零点,

当a∈(1,+∞)时,由1﹣﹣ln>0,即f(﹣lna)>0,

故f(x)没有零点,

当a∈(0,1)时,1﹣﹣ln<0,f(﹣lna)<0,

由f(﹣2)=ae﹣4+(a﹣2)e﹣2+2>﹣2e﹣2+2>0,

故f(x)在(﹣∞,﹣lna)有一个零点,

假设存在正整数n0,满足n0>ln(﹣1),则f(n0)=(a+a﹣2)﹣n0>﹣n0>﹣n0>0,

由ln(﹣1)>﹣lna,

因此在(﹣lna,+∞)有一个零点.

∴a的取值范围(0,1).

【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.

[选修4-4,坐标系与参数方程]

22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为 ,(t为参数).

(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.

【考点】IT:点到直线的距离公式;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有

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