12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）

A．440 B．330 C．220 D．110

【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．

【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；

方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．

【解答】解：设该数列为{an}，设bn=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=ai，

由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，

可知当N为时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，

容易得到N＞100时，n≥14，

A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．

B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．

C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．

D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．

故选A．

方法二：由题意可知：，，，…，

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为N=1+2+3+…+n=，

所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，

由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，

则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，

②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，

③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，

∴该款软件的激活码440．

故选：A．

【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．

【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．

【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，

∴=+4•+4

=22+4×2×1×cos60°+4×12

=12，

∴|+2|=2．

【解法二】根据题意画出图形，如图所示；

结合图形=+=+2；