则|MN|=•|y1﹣y2|=•

=•=12•，

A到PQ的距离为d==，

|PQ|=2=2=，

则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•

=24•=24，

当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，

即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．

【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．

（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，

设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，

∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），

①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）ex=0⇔x=2，

函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；

②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，

当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；

当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；

此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，

由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；

当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，

∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，

令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，

则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，

故函数f（x）在x＜1存在一个零点；

即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；

③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，

当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，

ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，

即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，

当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，