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全国统一高考数学试卷(理科)
大小:0B 14页 发布时间: 2024-01-31 12:45:31 10.27k 9.43k

18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.

(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;

(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.

19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;

(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?

20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2有两个零点.

(Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]

22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.

(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;

(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.

(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;

(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()

A.(﹣3,﹣) B.(﹣3,) C.(1,) D.(,3)

【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;4O:定义法;5J:集合.

【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.

【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),

B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),

∴A∩B=(,3),

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