12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）

A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．

【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．

【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，

∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；

②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；

③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；

故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；

而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

故f（）=﹣3•+1＞0；

故a＜﹣2；

综上所述，

实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；

故选：D．

【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．

【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，

其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．

故答案为：．

【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．

14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为A．

【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有

【专题】5M：推理和证明．

【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．

【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

再由丙说：我们三人去过同一城市，

则由此可判断乙去过的城市为A．

故答案为：A．