【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．

当n=1时，a1b2+b2=b1．

∵b1=1，b2=，

∴a1=2，

又∵{an}是公差为3的等差数列，

∴an=3n﹣1，

（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．

即3bn+1=bn．

即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，

∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．

【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．

18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；

（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，

∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，

又E为D在平面PAB内的正投影，

∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，

∵PD∩DE=D，

∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，

则AB⊥PG，

又PA=PB，

∴G是AB的中点；

（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．

∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，

∴PB⊥PA，PB⊥PC，

又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，

即点F为E在平面PAC内的正投影．

连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．

由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．

所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．