（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；48：分析法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（Ⅰ）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；

方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；

（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），

直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得x=﹣2或x=﹣，则|AM|=•|2﹣|=•，

由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，

由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，

整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，

即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；

方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，

由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，

代入椭圆方程+=1，可得7x2+16x+4=0，

解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），

则△AMN的面积为××（﹣+2）=；

（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，

可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2﹣3t=0，

解得x=﹣或x=﹣，

即有|AM|=•|﹣|=•，

|AN|═•=•，

由2|AM|=|AN|，可得2•=•，

整理得t=，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，

可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）ex+x+2＞0；

（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可

【解答】解：（1）证明：f（x）=

f'（x）=ex（）=

∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增

∴x＞0时，＞f（0）=﹣1

即（x﹣2）ex+x+2＞0