15.(5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
16.(5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;
(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.
18.(12分)某保险的基本保费为a(单位:元),继续购买该保险的投保人成为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数01234≥5
保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数01234≥5
概率0.300.150.200.200.100.05
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.(12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交于BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=.
(Ⅰ)证明:D′H⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值.
20.(12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
21.(12分)(Ⅰ)讨论函数f(x)=ex的单调性,并证明当x>0时,(x﹣2)ex+x+2>0;
(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
请考生在第22~24题中任选一个题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交与A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知z=(m+3)+(m﹣1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()