【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；

（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．

【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：

（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：

EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；

∴，∴AH=10；

以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；

∴；

设为平面EFGH的法向量，则：

，取z=3，则；

若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：

sinθ==；

∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．

【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．

20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．

（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．

【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，

则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，

则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，

于是直线OM的斜率kOM==，

即kOM•k=﹣9，

∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

（2）四边形OAPB能为平行四边形．

∵直线l过点（，m），

∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，

即k2m2＞9b2﹣9m2，

∵b=m﹣m，

∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，

即k2＞k2﹣6k，

即6k＞0，

则k＞0，

∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，