【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有

【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；

（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，

∴AD是∠CAB的角平分线，

又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，

∴AE=AF，∴AD⊥EF，

∴EF∥BC；

（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，

又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，

连结OE、OM，则OE⊥AE，

由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，

∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，

∵AE=2，∴AO=4，OE=2，

∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，

∴AD=5，AB=，

∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．

【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【专题】5S：坐标系和参数方程．

【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．

（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．

【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，

∴x2+y2=2y．

同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，

联立，

解得，，

∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．

（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），

∵A，B都在C1上，

∴A（2sinα，α），B．

∴|AB|==4，

当时，|AB|取得最大值4．