所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,
因此y关于x的回归方程为=100.6+68,
(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,
(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,
当==6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大.
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.
(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)
【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y=,利用导数的运算法则可得:y′=,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.
(II)存在符合条件的点(0,﹣a),设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=.k1+k2=0⇔直线PM,PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可证明.
【解答】解:(I)联立,不妨取M,N,
由曲线C:y=可得:y′=,
∴曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为:y﹣a=,化为.
同理可得曲线C在点N处的切线方程为:.
(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出证明:
设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.
联立,化为x2﹣4kx﹣4a=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a.
∴k1+k2=+==.
当b=﹣a时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,
∴∠OPM=∠OPN.
∴点P(0,﹣a)符合条件.
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx
(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有
【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.
【分析】(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.
(ii)对x分类讨论:当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.
当x=1时,对a分类讨论:a≥﹣,a<﹣,即可得出零点的个数;
当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论:①当a≤﹣3或a≥0时,②当﹣3<a<0时,利用导数研究其单调性极值即可得出.
【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.
设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,
∴,解得,a=.
因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(ii)当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,