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全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
大小:0B 13页 发布时间: 2024-01-31 18:08:33 18.79k 17.26k

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,

因此y关于x的回归方程为=100.6+68

(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,

年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,

(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,

==6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大.

【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.

20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.

(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.

(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)

【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有

【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y=,利用导数的运算法则可得:y′=,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.

(II)存在符合条件的点(0,﹣a),设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=.k1+k2=0⇔直线PM,PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN.即可证明.

【解答】解:(I)联立,不妨取M,N

由曲线C:y=可得:y′=

∴曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为:y﹣a=,化为

同理可得曲线C在点N处的切线方程为:

(II)存在符合条件的点(0,﹣a),下面给出证明:

设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2.

联立,化为x2﹣4kx﹣4a=0,

∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a.

∴k1+k2=+==

当b=﹣a时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,

∴∠OPM=∠OPN.

∴点P(0,﹣a)符合条件.

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx

(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;

(ii)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.

【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.

【分析】(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.

(ii)对x分类讨论:当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.

当x=1时,对a分类讨论:a≥﹣,a<﹣,即可得出零点的个数;

当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论:①当a≤﹣3或a≥0时,②当﹣3<a<0时,利用导数研究其单调性极值即可得出.

【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.

设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,

,解得,a=

因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;

(ii)当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,

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