所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，

因此y关于x的回归方程为=100.6+68，

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，

年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，

（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，

当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．

【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．

（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．

（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．

【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，

由曲线C：y=可得：y′=，

∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．

同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．

（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：

设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．

联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．

∴k1+k2=+==．

当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，

∴∠OPM=∠OPN．

∴点P（0，﹣a）符合条件．

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx

（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．

【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．

（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．

当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；

当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．

【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．

设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，

∴，解得，a=．

因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，