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全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
大小:0B 13页 发布时间: 2024-01-31 18:08:33 18.79k 17.26k

∴函数h(x)=min { f(x),g(x)}<0,

故h(x)在x∈(1,+∞)时无零点.

当x=1时,若a≥﹣,则f(1)=a+≥0,

∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函数h(x)的一个零点;

若a<﹣,则f(1)=a+<0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函数h(x)的零点;

当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.

①当a≤﹣3或a≥0时,f′(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,因此f(x)在区间(0,1)内单调,

而f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤﹣3时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,

当a≥0时,函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.

②当﹣3<a<0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f(x)取得最小值=

>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.

=0,即a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.

<0,即,由f(0)=,f(1)=a+

∴当时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.

综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.

时,h(x)有一个零点;

当a=时,h(x)有两个零点;

时,函数h(x)有三个零点.

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.

选修4一1:几何证明选讲

22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.

(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;

(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.

【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.菁优网版权所有

【专题】5B:直线与圆.

【分析】(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;

(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x值,可得所求角度.

【解答】解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,

在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,

连接OE,则∠OBE=∠OEB,

又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,

∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;

(Ⅱ)设CE=1,AE=x,

由已知得AB=2,BE=

由射影定理可得AE2=CE•BE,

∴x2=,即x4+x2﹣12=0,

解方程可得x=

∴∠ACB=60°

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