∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，

故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．

当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，

∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；

若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；

当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．

①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，

而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，

当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．

②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．

若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．

若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．

若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，

∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．

综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．

当时，h（x）有一个零点；

当a=或时，h（x）有两个零点；

当时，函数h（x）有三个零点．

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．

选修4一1:几何证明选讲

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．

【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB，

又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，

由已知得AB=2，BE=，

由射影定理可得AE2=CE•BE，

∴x2=，即x4+x2﹣12=0，

解方程可得x=

∴∠ACB=60°