∴函数h(x)=min { f(x),g(x)}<0,
故h(x)在x∈(1,+∞)时无零点.
当x=1时,若a≥﹣,则f(1)=a+≥0,
∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函数h(x)的一个零点;
若a<﹣,则f(1)=a+<0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函数h(x)的零点;
当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.
①当a≤﹣3或a≥0时,f′(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,因此f(x)在区间(0,1)内单调,
而f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤﹣3时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,
当a≥0时,函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.
②当﹣3<a<0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f(x)取得最小值=.
若>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.
若=0,即a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.
若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,
∴当时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.
综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.
当时,h(x)有一个零点;
当a=或时,h(x)有两个零点;
当时,函数h(x)有三个零点.
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.
选修4一1:几何证明选讲
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.
【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.菁优网版权所有
【专题】5B:直线与圆.
【分析】(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x值,可得所求角度.
【解答】解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,
在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,
连接OE,则∠OBE=∠OEB,
又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,
∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)设CE=1,AE=x,
由已知得AB=2,BE=,
由射影定理可得AE2=CE•BE,
∴x2=,即x4+x2﹣12=0,
解方程可得x=
∴∠ACB=60°