【考点】J1:圆的标准方程;K8:抛物线的性质;KI:圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
【专题】15:综合题;16:压轴题.
【分析】(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离,由△ABD的面积S△ABD=,知=,由此能求出圆F的方程.
(2)由对称性设,则点A,B关于点F对称得:,得:,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.
【解答】解:(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离,
∵△ABD的面积S△ABD=,
∴=,
解得p=2,所以F坐标为(0,1),
∴圆F的方程为x2+(y﹣1)2=8.
(2)由题设,则,
∵A,B,F三点在同一直线m上,
又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.
由点A,B关于点F对称得:
得:,直线,切点
直线
坐标原点到m,n距离的比值为.
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用,具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
21.(12分)设函数f(x)=ex﹣ax﹣2.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有
【专题】15:综合题;16:压轴题;32:分类讨论;35:转化思想.
【分析】(Ⅰ)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母a,故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;
(II)由题设条件结合(I),将不等式,(x﹣k) f´(x)+x+1>0在x>0时成立转化为k<(x>0)成立,由此问题转化为求g(x)=在x>0上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出k的最大值;
【解答】解:(I)函数f(x)=ex﹣ax﹣2的定义域是R,f′(x)=ex﹣a,
若a≤0,则f′(x)=ex﹣a≥0,所以函数f(x)=ex﹣ax﹣2在(﹣∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=ex﹣a<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex﹣a>0;
所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
(II)由于a=1,所以,(x﹣k) f´(x)+x+1=(x﹣k) (ex﹣1)+x+1
故当x>0时,(x﹣k) f´(x)+x+1>0等价于k<(x>0)①
令g(x)=,则g′(x)=
由(I)知,当a=1时,函数h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,
而h(1)<0,h(2)>0,
所以h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上存在唯一的零点,
故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)
当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)