【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．

【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，

f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，

当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，

f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，

所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，

综上可得，a的取值范围是[，+∞）

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．

22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．

（I）求a，b；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；

（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．

【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2

所以C的方程为8x2﹣y2=8a2

将y=2代入上式，并求得x=±，

由题设知，2=，解得a2=1

所以a=1，b=2

（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①

由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是

|AF1|==﹣（3x1+1），

|BF1|==3x2+1，

|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即

故=，解得，从而=﹣

由于|AF2|==1﹣3x1，

|BF2|==3x2﹣1，

故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16

因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．