（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，

联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，

∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，

∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．

设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．

∴|CD|===．

联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，

∴交点为A（0，），B，

∴|AB|==．

∴S四边形ACBD===，

∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．

∴四边形ACBD面积的最大值为．

【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．

　21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）

（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；

（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=2时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．

【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．

所以函数f（x）=ex﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．

∵．

设g（x）=ex（x+1）﹣1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，

又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．

当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．

故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．

当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，

从而当x=x0时，f（x）取得最小值．

由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．

故f（x）≥=＞0．

综上，当m≤2时，f（x）＞0．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．

　选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）

22．（10分）【选修4﹣1几何证明选讲】

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．

（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；