（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．

利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；

（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都用DB表示即可．

【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，

∵BC•AE=DC•AF，∴．

∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．

∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．

∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；

（2）连接CE，∵∠CBE=90°，

∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，

又BC2=DB•BA=2DB2，

∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．

而DC2=DB•DA=3DB2，

故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值==．

【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．

　23．已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【专题】5S：坐标系和参数方程．

【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；

（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．

【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），

因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．

M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．

（2）M点到坐标原点的距离d=（0＜α＜2π）．

当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．

【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

　24．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）

（Ⅱ）．

【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；

（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，三式累加即可证得结论．