(II)设直线l与抛物线C交于A、B,△AA2F,△BB1F的重心分别为G,H,求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外.
考点:抛物线的简单性质;抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题。
专题:综合题。
分析:(1)根据焦点F(,0)在直线l上,将F代入可得到ρ=m2,再由m=2可确定p的值,进而得到答案.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),然后联立消去x表示出两根之和、两根之积,然后设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,根据重心的定义可得到关系2,进而得到G(),H(),和GH的中点坐标M,再由可得到关于m的关系式,然后表示出|MN|整理即可得证.
解答:解:(1)因为焦点F(,0)在直线l上,
得ρ=m2
又m=2,故ρ=4
所以抛物线C的方程为y2=2m2x
(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去x得
y2﹣2m3y﹣m4=0,
由于m≠0,故△=4m6+4m4>0,
且有y1+y2=2m3,y1y2=﹣m4,
设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,
由于2,
可知G(),H(),
所以,,
所以GH的中点M.
设R是以线段GH为直径的圆的半径,
则
设抛物线的标准线与x轴交点N,
则
=m4(m4+8m2+4)
=m4[(m2+1)(m2+4)+3m2]
>m2(m2+1)(m2+4)=R2.
故N在以线段GH为直径的圆外.
点评:本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.