19、(2010•浙江)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(Ⅰ)若S5=5,求S6及a1;
(Ⅱ)求d的取值范围.
考点:等差数列的前n项和。
分析:(I)根据附加条件,先求得s6再求得a6分别用a1和d表示,再解关于a1和d的方程组.
(II)所求问题是d的范围,所以用“a1,d”法.
解答:解:(Ⅰ)由题意知S6==﹣3,
a6=S6﹣S5=﹣8
所以
解得a1=7
所以S6=﹣3,a1=7;
解:(Ⅱ)因为S5S6+15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2﹣8.
所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤﹣2或d≥2.
点评:本题主要考查等差数列概念、求和公式通项公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力.
20、(2010•浙江)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;
(Ⅱ)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定。
专题:计算题;证明题。
分析:(Ⅰ)欲证BF∥平面A'DE,只需在平面A'DE中找到一条线平行于BF即可;而取A′D的中点G,并连接GF、GE,易证四边形BEGF为平行四边形,则BF∥EG,即问题得证.
(Ⅱ)欲求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值,需先找到直线FM与平面A′DE所成的角;而连接A′M,CE,由平面A′DE⊥平面BCD易证CE⊥A′M,且由勾股定理的逆定理可证CE⊥DE;再取A′E的中点N,连线NM、NF,则NF⊥平面A′DE,即∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角;最后在Rt△FMN中,易得cos∠FMN的值.
解答:(Ⅰ)证明:取A′D的中点G,
连接GF,GE,由条件易知
FG∥CD,FG=CD.
BE∥CD,BE=CD.
所以FG∥BE,FG=BE.
故所以BF∥EG.
又EG⊂平面A'DE,BF⊄平面A'DE
所以BF∥平面A'DE.
(Ⅱ)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,
则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,
连接A′M,CE
因为∠ABC=120°
在△BCE中,可得CE=a,
在△ADE中,可得DE=a,