在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中,M为DE中点,所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.
取A′E的中点N,连线NM、NF,
所以NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于M,
所以NF⊥平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,
则cos∠FMN=.
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
点评:本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系及线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力.
21、(2010•浙江)已知函数f(x)=(x﹣a)2(x﹣b)(a,b∈R,a<b).
(I)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线方程;
(II)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.
证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后的等差数列,并求x4.
考点:利用导数研究函数的极值;简单复合函数的导数;等差数列的性质。
专题:证明题;综合题。
分析:(1)将a,b的值代入后对函数f(x)进行求导,根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率,可得答案.
(2)对函数f(x)求导,令导函数等于0解出x的值,然后根据x3是f(x)的一个零点可得到x3=b,然后根据等差数列的性质可得到答案.
解答:(Ⅰ)解:当a=1,b=2时,
因为f′(x)=(x﹣1)(3x﹣5)
故f′(2)=1
f(2)=0,
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x﹣2;
(Ⅱ)证明:因为f′(x)=3(x﹣a)(x﹣),
由于a<b.
故a<.
所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a,x2=,
因为x3≠x1,x3≠x2,
且x3是f(x)的零点,故x3=b.
又因为﹣a=2(b﹣),
x4=(a+)=,
所以a,,,b依次成等差数列,
所以存在实数x4满足题意,且x4=.
点评:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识.
22、(2010•浙江)已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F在直线上.
(I)若m=2,求抛物线C的方程