【分析】两地捐赠资金分别增加10%和5%,则总捐资额增加8%,如果再在这个基础上两地增加第一次捐资的5%,那么两地捐赠资金分别增加到15%和10%,总量增加到8%+5%=13%,所以第一次李先生捐资13÷13%=100万.
【解答】解:10%﹣5%=5%
15%﹣10%=5%
13÷(8%+5%)
=13÷13%
=100(万元)
答:第一次捐了100万元.
故答案为:100.
【点评】首先根据已知条件求出已知数量占单位“1”的分率是完成本题的关键.
6.(6分)(2015•北京)有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这5个数中最小数的最小值为多少?
【考点】最大与最小.菁优网版权所有
【专题】传统应用题专题.
【分析】设中间数是a,则它们的和为5a,中间三数的和为3a.因为5a是平方数,所以平方数的尾数一定是5或者0;再由中间三数为立方数,所以a﹣1+a+a+1=3a,所以立方数一定是3的倍数.中间的数至少是1125,那么这五个数中最小数的最小值为1123.
【解答】解:设设中间数是a,五个数分别是a﹣2,a﹣1,a,a+1,a+2;
明显可以得到a﹣2+a﹣1+a+a+1+a+2=5a,
由于5a是平方数,所以平方数的尾数一定是5或者0,
再由3a是立方数,所以a﹣1+a+a+1=3a,所以立方数一定是3的倍数.
所以这个数a一定是32×53=1125,
所以最小数是1125﹣2=1123.
答:这5个数中最小数的最小值为1123.
【点评】考查平方数和立方数的知识点,同时涉及到数量较少的连续自然数问题,设未知数的时候有技巧:一般是设中间的数,这样前后的数关于中间的数是对称的.
7.(6分)(2015•北京)从1,2,3,…,n中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为108.
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【专题】竞赛专题.
【分析】被13除的同余序列当中,如余1的同余序列,1、14、27、40、53、66…,中只要取到两个相邻的,这两个数的差为13,如果没有两个相邻的数,则没有两个数的差为13,不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13,对于任意一条长度为x的序列,都最多能取个数,即从第1个数起隔1个取1个
基于以上,n个数分成13个序列,每条序列的长度为或,两个长度差为1的序列,能够被取得的数的个数也不会超过1,所以能使57个数任意两个数都不等于13,则这57个数被分配在13条序列中,当n取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过1,那么13个序列有8个分配了4个数,5个分配了5个数,这13个序列8个长度为8,5个长度为9,那么n=8×8+9×5=109,所以要使57个数必有两个数的差为13,那么n的最大值为108.
【解答】解:基于以上分析,n个数分成13个序列,每条序列的长度为或,两个长度差为1的序列,能够被取得的数的个数也不会超过1,所以能使57个数任意两个数都不等于13,则这57个数被分配在13条序列中,当n取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过1,那么13个序列有8个分配了4个数,5个分配了5个数,这13个序列8个长度为8,5个长度为9,那么n=8×8+9×5=109,所以要使57个数必有两个数的差为13,那么n的最大值为108.
故答案为:108.
【点评】差一定的情况下,我们就可以用一个数来确定另一个数,只要一个数大另一个随之大,只要一个小另一个随之小.
8.(6分)(2015•北京)如图边长为10cm的正方形,则阴影表示的四边形面积为48平方厘米.
【考点】长方形、正方形的面积.菁优网版权所有
【专题】平面图形的认识与计算.
【分析】图中阴影部分的面积是正方形的面积减去4个空白三角形的面积,据此解答.
【解答】解:如图所示,设左上角小长方形的长为a,右下角小长方形的长为b,
四个空白三角形的面积是:
[(10﹣b)(10﹣a)+(6﹣a)b+(a+4)(b+1)+(9﹣b)a]÷2
=[100﹣10a﹣10b+ab+6b﹣ab+ab+a+4b+4+9a﹣ab]÷2
=104÷2