解：6，7，8。提示：相邻两个自然数必互质，其最小公倍数就等于这两个数的乘积。而相邻三个自然数，若其中只有一个偶数，则其最小公倍数等于这三个数的乘积；若其中有两个偶数，则其最小公倍数等于这三个数乘积的一半。

51. 一副扑克牌共54 张，最上面的一张是红桃K。如果每次把最上面的12 张牌移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃K 才会又出现在最上面？

解：因为[54，12]=108，所以每移动108 张牌，又回到原来的状况。又因为每次移动12 张

牌，所以至少移动108÷12=9（次）。

52. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7 倍，过几年是你的6 倍，再过若干年就分别是你的5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

解：爷爷70 岁，小明10 岁。提示：爷爷和小明的年龄差是6，5，4，3，2 的公倍数，又考虑到年龄的实际情况，取公倍数中最小的。（60 岁）

53. 某质数加6 或减6 得到的数仍是质数，在50 以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。

解：11，13，17，23，37，47。

54. 在放暑假的8 月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上

2 减去1，这个合数乘上2 加上1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？

解：设这个合数为a，则四个质数分别为（a－1），（a＋1），（2a－1），（2a＋1）。因

为（a－1）与（a＋1）是相差2 的质数，在1～31 中有五组：3，5；5，7；11，13；17，

19；

21，31。经试算，只有当a＝6 时，满足题意，所以这五天是8 月5，6，7，11，13 日。

55. 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。

解：3，74；18，37。

提示：三个数字相同的三位数必有因数111。因为111＝3×37，所以这两个整数中有一个是37 的倍数（只能是37 或74），另一个是3 的倍数。

56. 在一根100 厘米长的木棍上，从左至右每隔6 厘米染一个红点，同时从右至左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。问：长度是1 厘米的短木棍有多少根？

解：因为100 能被5 整除，所以可以看做都是自左向右染色。因为6 与5 的最小公倍数是

30，即在30 厘米处同时染上红点，所以染色以30 厘米为周期循环出现。一个周期的情况

如下图所示：

由上图知道，一个周期内有2 根1 厘米的木棍。所以三个周期即90 厘米有6 根，最后

10 厘米有1 根，共7 根。

57. 某种商品按定价卖出可得利润960 元，若按定价的80％出售，则亏损832 元。问：

商品的购入价是多少元？

解：8000 元。按两种价格出售的差额为960＋832=1792（元），这个差额是按定价出售收

入的20％，故按定价出售的收入为1792÷20％=8960（元），其中含利润960 元，所以购入

价为8000 元。

58. 甲桶的水比乙桶多20％，丙桶的水比甲桶少20％。乙、丙两桶哪桶水多？

解：乙桶多。

59. 学校数学竞赛出了A，B，C 三道题，至少做对一道的有25 人，其中做对A 题的有10 

人，做对B 题的有13 人，做对C 题的有15 人。如果二道题都做对的只有1 人，那么只做对

两道题和只做对一道题的各有多少人？

解：只做对两道题的人数为（10＋13＋15）-25 -2×1＝11（人），

只做对一道题的人数为25－11－1=13（人）。

60. 学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问：最多有几人获奖？最少有几人获奖？

解：共有13 人次获奖，故最多有13 人获奖。又每人最多参加两项，即最多获两项奖，因此最少有7 人获奖。

61. 在前1000 个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？

解：因为312＜1000＜322，103＝1000，所以在前1000 个自然数中有31 个平方数，10 个

立方数，同时还有3 个六次方数（16，26，36）。所求自然数共有1000－（31＋10）＋3＝962