54，在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1。问；小明是哪几天在姥姥家住的？

解；设这个合数为a，则四个质数分别为〔a－1〕，〔a＋1〕，〔2a－1〕，〔2a＋1〕。因为〔a－1〕与〔a＋1〕是相差2的质数，在1～31中有五组；3，5；5，7；11，13；17，19；21，31。经试算，只有当a＝6时，满足题意，所以这五天是8月5，6，7，11，13日。

55，有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。

解；3，74；18，37。

提示；三个数字相同的三位数必有因数111。因为111＝3×37，所以这两个整数中有一个是37的倍数〔只能是37或74〕，另一个是3的倍数。

56，在一根100厘米长的木棍上，从左至右每隔6厘米染一个红点，同时从右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。问；长度是1厘米的短木棍有多少根？

解；因为100能被5整除，所以可以看做都是自左向右染色(rǎnsè)。因为6与5的最小公倍数是30，即在30厘米处同时染上红点，所以染色以30厘米为周期循环出现。一个周期的情况如下图所示；

由上图知道，一个(yīɡè)周期内有2根1厘米(límǐ)的木棍。所以三个周期即90厘米有6根，最后10厘米有1根，共7根。

57，某种商品(shāngpǐn)按定价卖出可得利润960元，若按定价的80％出售，则亏损832元。问；商品(shāngpǐn)的购入价是多少元？

解；8000元。按两种价格出售的差额为960＋832=1792〔元〕，这个差额是按定价出售收入的20％，故按定价出售的收入为1792÷20％=8960〔元〕，其中含利润960元，所以购入价为8000元。

58，甲桶的水比乙桶多20％，丙桶的水比甲桶少20％。乙、丙两桶哪桶水多？

解；乙桶多。

59，学校数学竞赛出了A，B，C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果二道题都做对的只有1人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？

解；只做对两道题的人数为〔10＋13＋15〕-25-2×1＝11〔人〕，

只做对一道题的人数为25－11－1=13〔人〕。

60，学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问；最多有几人获奖？最少有几人获奖？

解；共有13人次获奖，故最多有13人获奖。又每人最多参加两项，即最多获两项奖，因此最少有7人获奖。

61，在前1000个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？

解；因为(yīn wèi)312＜1000＜322，103＝1000，所以(suǒyǐ)在前1000个自然数中有31个平方数，10个立方数，同时还有3个六次方数〔16，26，36〕。所求自然数共有(ɡònɡyǒu)1000－〔31＋10〕＋3＝962〔个〕。

62，用数字0，1，2，3，4可以组成多少(duōshǎo)个不同的三位数〔数字允许(yǔnxǔ)重复〕？

解；4*5*5=100个

63，要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果？

解；6*6*6=216种

64，已知15120=24×33×5×7，问；15120共有多少个不同的约数？

解；15120的约数都可以表示成2a×3b×5c×7d的形式，其中a=0，1，2，3，4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0，1，即a，b，c，d的可能取值分别有5，4，2，2种，所以共有约数5×4×2×2=80〔个〕。

65，大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

解；他们一共可能有0～50本书，如果他们共有n本书，则大林可能有书0～n本，也就是说这n本书在两人之间的分配情况共有〔n＋1〕种。所以不超过50本书的所有可能的分配情况共有1＋2＋3…＋51=1326〔种〕。

66，在右图中，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？〔注；路线相同步骤不同，认为是不同走法。〕

解；80种。提示；从A到B共有10条不同的路线，每条路线长5个线段。每次走一个或两个线段，每条路线有8种走法，所以不同走法共有8×10=80〔种〕。

67，有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？

解；5*4*3=60种

68．有三本不同的书被5名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？

解；5*4*3=60种

69，恰有两位数字相同(xiānɡtónɡ)的三位数共有多少个？

解；在900个三位数中，三位数各不相同的有9×9×8＝648〔个〕，三位数全相同(xiānɡtónɡ)的有9个，恰有两位数相同的有900—648—9=243〔个〕。

70，从1，3，5中任取两个数字(shùzì)，从2，4，6中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？

解；三个奇数(jīshù)取两个有3种方法，三个偶数取两个也有3种方法。共有3×3×4！=216〔个〕。

71，左下图中有多少(duōshǎo)个锐角？

解；C(11,2)=55个

72，10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？