本教程共30讲

枚举法

我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

例1小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。

分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是：

1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是：

2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。

例2数一数，右图中有多少个三角形。

分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：1，2，3，5，6，8。

由两部分组成的三角形有4个：

（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。

由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。

由四部分组成的三角形有2个：

（1，3，4，5），（2，6，7，8）。

由八部分组成的三角形有1个：

（1，2，3，4，5，6，7，8）。

总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。

对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。

例3在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？

分析与解：上珠一个表示5，下珠一个表示1。分三类枚举：

（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；

（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；

（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。

一共可以表示3＋4＋7=14（个）四位数。

由例1～3看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。

例4有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少种不同的展开图？

分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：

最长一行有4个正方形的有2种，见图（1）（2）；

最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；

最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。

不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。

例5小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？

分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。

由上图可知，共有6种不同的安排。

例6一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能？