分析与解：与例5类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。

由上图可知，共有5种不同的顺序。

说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，表示在第一个5分钟内做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做第2题。

例7是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？

分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。

当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以

（n2＋n＋2）÷3余2；

当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以

（n2＋n＋2）÷3余1；

当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以

（n2＋n＋2）÷3余2。

因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。

练习21

1.10种。

解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。

2.9种。

解：一天吃完有1种：（10）；两天吃完有5种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。

3.8种。

解：如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放的有4种，5个小矩形都竖放的有1种。共3＋4＋1=8（种）。

4.6个。

解：15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。

可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。

5.10个。

提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。

6.6种。

提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：

7.14种。

提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：

练习21

1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？

2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

3.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同盖法？

4.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？

5.数数右图中共有多少个三角形？

6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一盘，并最终获胜。问：各盘的胜负情况有多少种可能？

7.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？

答案与提示练习21

1.10种。

解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。

2.9种。