二、同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m);

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②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m);

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

⑤相乘性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡b×d(mod m);

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

⑦同倍性:若a≡b(mod m)，整数c，则a×c≡b×c(mod m×c);

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

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②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

19、分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

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分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

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⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

20、分数大小的比较

分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

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②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。