各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）

未定式处理遵循先定型后定法原则

现在我们在这里先将未定式分为4大类型（定型）：

1.基本型即0/0型（零比零型），∞/∞型（无穷比无穷型）。

2.无穷乘零型   即∞x0型。

3.幂指函数型。

4.无穷减无穷型    即∞-∞型。

基本型：

直接用洛必达法则，过程中注意每一步都要判断是否还保持基本型。

同时过程中要“四化”（“四化”详见注意事项）。

洛必达法则，即为对分子分母分别求导数。

无穷乘零型（∞x0）：

先“下放”再用洛必达

就是将∞x0，中的一项变换到分母位置。

变换后为0/(1/∞)或者外∞/(1/0)，这样实际上就变成了

0/0型和∞/∞，这就成了基本型了。之后的步奏就用基

本型的方法做。

幂指函数型（1的∞次方，∞的0次方，0的0次方）

先指数对数化，之后其幂必定变为了∞x0型，然后幂的极限求法就依照类型2（即无穷乘零型）操作。

此处说明指数对数化，上面三种幂指函数指数对数化后为,e的（∞xln 1）次方，e的（0 x ln ∞）次方，e的（0 x ln 0）次方。他们都指数都实际上都分别变成了∞ x 0，0 x ∞，0 x -∞。这就可以按照类型2处理了。

无穷减无穷型（∞-∞）：

此类型还细分外三种情况。

1.分式差，方法就是通分，之后它局变为了基本型，就参照基本型处理，直接洛

必达。

2.根式差，看成是分母为1的分式，然后将分子有理化，之后它也变成了基本型

3.既非分式也非根式,此类型较为复杂，一般可令x=1/t,这样就出现了分式。就可

按前两种情况处理。

终极方法（通法）：

将分式中的上下部分度化成迈克劳林式子。

此方法一般问题都能解决但是较为麻烦，在没有其他思路的情况下考虑此法。

注意事项

“四化”：1,.无穷小因子等价化（此为大学内容，注意等价化条件只能是在整体的分子或分母） 2.幂指函数指数对数化。 3.无理式有理化。 4.非“0”极限因子淡化，就是把它算出来搁在一边暂不理它每用一次洛必达后都要检查式子的类型，有些时候洛必达一次后式子已经不再是基本型了，不能连续用洛必达。蛮干不能蛮断：不要一看洛必达后的式子极限不存在就认为极限不存在，因为你可能用错了。